2.2.1 Exemplos resolvidos
  • Determine a soma dos vetores indicados na figura:
a) vector_addition_1.png

$\overrightarrow{MI}$ e $\overrightarrow{FG}$ são opostos, portanto se anulam. Escolhendo B como origem e F como extremidade, temos que $\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BF}$. Resta então que $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BL}$. Os vetores podem ser deslocados livremente pelas arestas da figura. Desde que não rotacionemos o vetor em nenhuma direção e não alteremos o seu comprimento, a posição do vetor é livre. O ponto por onde começar a soma tambem é arbitrário, não importa.


b) vector_addition_2.png

Começando em A e percorrendo o hexágono no sentido anti-horário voltamos ao mesmo ponto, portanto os vetores do perímetro do hexágono se anulam. Restam os vetores $\overrightarrow{OC}$ e $\overrightarrow{OE}$, cuja soma é o vetor $\overrightarrow{OD}$.


c) vector_addition_3.png

Perceba que o vetor $\overrightarrow{FD}$ pode ser decomposto em $\overrightarrow{FO} + \overrightarrow{OD}$, enquanto $\overrightarrow{FB}$ em $\overrightarrow{FO} + \overrightarrow{OB}$. Fazendo a soma dos quatro últimos vetores com $\overrightarrow{CO}$ obtemos $\overrightarrow{FC}$.

  • Resolva o sistema nas incónitas $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$
(1)
\begin{cases} 2\overrightarrow{x} - 3\overrightarrow{y} = \overrightarrow{u} \\ \\ \overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \end{cases}

Resolver o sistema nas incógnitas $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ significa expressar $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ em função de $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$. Como temos quatro vetores e duas equações, dois deles serão variáveis livres.

Isolando $\overrightarrow{x}$ na segunda equação:

(2)
\begin{align} \overrightarrow{x} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} - 4\overrightarrow{y} \end{align}

Substituindo na primeira:

(3)
\begin{align} 2\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} - 8\overrightarrow{y} - 3\overrightarrow{y} & = \overrightarrow{u} \\ -11\overrightarrow{y} & = -\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{y} & = \frac{\overrightarrow{u}}{11} + \frac{2\overrightarrow{v}}{11} \end{align}

Substituindo $\overrightarrow{y}$ na segunda:

(4)
\begin{align} \overrightarrow{x} + \frac{\overrightarrow{u}}{11} + \frac{8\overrightarrow{v}}{11} & = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{x} & = \frac{10\overrightarrow{u}}{9} + \frac{3\overrightarrow{v}}{11} \end{align}

Outro método de resolução é multiplicar a segunda equação por -2 e somar ambas as equações para isolar $\overrightarrow{y}$.

Assim como fazemos com números reais podemos somar ou subtrair um mesmo vetor em ambos os lados da equação mantendo a igualdade.

Cuidado! Não divida ou multiplique ambos os lados da equação por um vetor pois esta operação não existe. O que existe é multiplicar ou dividir ambos os lados da equação pela norma de um vetor. Não escreva uma igualdade entre vetor e número pois um escalar não pode ser igual a um vetor, apenas a norma do vetor.

  • Existem $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ que verificam o sistema a seguir?
(5)
\begin{cases} \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} & = \overrightarrow{0} \\ \\ \overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y} & = \overrightarrow{u} \\ \\ \overrightarrow{x} - 5\overrightarrow{y} & = 2\overrightarrow{u} \end{cases}

Isolando $\overrightarrow{x}$ na primeira e substituindo na segunda:

(6)
\begin{align} -3\overrightarrow{y} & = \overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{y} & = -\frac{\overrightarrow{u}}{3} \end{align}

Substituindo na terceira:

(7)
\begin{align} \overrightarrow{x} - \left(-\frac{\overrightarrow{5u}}{3}\right) & = 2\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{x} & = \frac{\overrightarrow{u}}{3} \end{align}

$\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ verificam a primeira equação, então o sistema tem solução. Note que $\overrightarrow{u}$ é variável livre, portanto, são infinitas soluções.

  • Considere $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ dois vetores não paralelos. Determine α e β sabendo que $(\alpha + \beta - 2)\overrightarrow{u} + (\alpha - \beta + 1)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

A única forma da soma dar o vetor nulo é se os coeficientes de ambos os vetores forem nulos, daí vem o sistema:

(8)
\begin{cases} \alpha + \beta - 2 = 0\\ \alpha - \beta + 1 = 0 \end{cases}

Cuja solução é $\alpha = \frac{1}{2}$ e $\beta = \frac{3}{2}$.

  • Calcule m e n sabendo que $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ não são paralelos.
  • $(m^2 - 3)\overrightarrow{u} + (n - 1)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$

Ambos os lados da equação devem ser iguais, o que significa que os coeficientes de cada vetor devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:

(9)
\begin{cases} m^2 & - & 3 & = 1 \\ n & - & 1 & = -1 \end{cases}

Cuja solução é $m = \pm 2$ e $n = 0$.

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