- Determine a soma dos vetores indicados na figura:
$\overrightarrow{MI}$ e $\overrightarrow{FG}$ são opostos, portanto se anulam. Escolhendo B como origem e F como extremidade, temos que $\overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BF}$. Resta então que $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BL}$. Os vetores podem ser deslocados livremente pelas arestas da figura. Desde que não rotacionemos o vetor em nenhuma direção e não alteremos o seu comprimento, a posição do vetor é livre. O ponto por onde começar a soma tambem é arbitrário, não importa.
b)
Começando em A e percorrendo o hexágono no sentido anti-horário voltamos ao mesmo ponto, portanto os vetores do perímetro do hexágono se anulam. Restam os vetores $\overrightarrow{OC}$ e $\overrightarrow{OE}$, cuja soma é o vetor $\overrightarrow{OD}$.
c)
Perceba que o vetor $\overrightarrow{FD}$ pode ser decomposto em $\overrightarrow{FO} + \overrightarrow{OD}$, enquanto $\overrightarrow{FB}$ em $\overrightarrow{FO} + \overrightarrow{OB}$. Fazendo a soma dos quatro últimos vetores com $\overrightarrow{CO}$ obtemos $\overrightarrow{FC}$.
- Resolva o sistema nas incónitas $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$
Resolver o sistema nas incógnitas $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ significa expressar $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ em função de $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$. Como temos quatro vetores e duas equações, dois deles serão variáveis livres.
Isolando $\overrightarrow{x}$ na segunda equação:
(2)Substituindo na primeira:
(3)Substituindo $\overrightarrow{y}$ na segunda:
(4)Outro método de resolução é multiplicar a segunda equação por -2 e somar ambas as equações para isolar $\overrightarrow{y}$.
Assim como fazemos com números reais podemos somar ou subtrair um mesmo vetor em ambos os lados da equação mantendo a igualdade.
Cuidado! Não divida ou multiplique ambos os lados da equação por um vetor pois esta operação não existe. O que existe é multiplicar ou dividir ambos os lados da equação pela norma de um vetor. Não escreva uma igualdade entre vetor e número pois um escalar não pode ser igual a um vetor, apenas a norma do vetor.
- Existem $\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ que verificam o sistema a seguir?
Isolando $\overrightarrow{x}$ na primeira e substituindo na segunda:
(6)Substituindo na terceira:
(7)$\overrightarrow{x}$ e $\overrightarrow{y}$ verificam a primeira equação, então o sistema tem solução. Note que $\overrightarrow{u}$ é variável livre, portanto, são infinitas soluções.
- Considere $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ dois vetores não paralelos. Determine α e β sabendo que $(\alpha + \beta - 2)\overrightarrow{u} + (\alpha - \beta + 1)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
A única forma da soma dar o vetor nulo é se os coeficientes de ambos os vetores forem nulos, daí vem o sistema:
(8)Cuja solução é $\alpha = \frac{1}{2}$ e $\beta = \frac{3}{2}$.
- Calcule m e n sabendo que $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$ não são paralelos.
- $(m^2 - 3)\overrightarrow{u} + (n - 1)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$
Ambos os lados da equação devem ser iguais, o que significa que os coeficientes de cada vetor devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:
(9)Cuja solução é $m = \pm 2$ e $n = 0$.