Os oito axiomas aqui demonstrados permitem validar as operações algébricas com vetores. Cada um esta demonstrado com números reais, uma vez que os vetores estudados em geometria analítica e álgebra linear introdutória estão definidos para coordenadas reais. A validade de todas mostra que os vetores estudados em geometria analítica fazem parte de um espaço vetorial, embora a definição de um espaço vetorial seja normalmente postergada para o curso de álgebra linear.
M1. $a(b\overrightarrow{v}) = (ab)\overrightarrow{v}$ | (associativa multiplicativa) |
M2. $a(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) = a\overrightarrow{v} + a\overrightarrow{u}$ | (distributiva por número real) |
M3. $(a + b)\overrightarrow{v} = a\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{v}$ | (distributiva por vetor) |
M4. $1\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$ | (elemento neutro da multiplicação) |
A1. $\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ | (comutativa) |
A2. $(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{v} + (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w})$ | (associativa) |
A3. $\overrightarrow{v} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{v}$ | (elemento neutro da adição) |
A4. $\overrightarrow{v} + (-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{0}$ | (elemento oposto) |
As demonstrações a seguir já estão generalizadas para n dimensões. Com duas ou três dimensões é possível utilizar uma letra diferente para cada coordenada, mas com muitas coordenadas utiliza-se uma letra seguida de um índice inteiro.
A soma de vetores é definida somando-se os valores numéricos das coordenadas correspondentes. Se um vetor possui menos coordenadas do que o outro, as coordenadas faltantes são nulas. A multiplicação por escalar é definida multiplicando-se todas as coordenadas pelo escalar.
A ordem das demonstrações, com exceção de A3 e A4, é arbitrária.
Cuidado com a lógica circular 0 = 0! Numa demonstração, a tese é a de que a expressão da esquerda é igual a da direita, então deve-se trabalhar na expressão da esquerda ou da direita (ou ambas separadamente) e desenvolvê-la antes de se chegar no resultado final. Se o próprio resultado é escrito na igualdade já no início, cai-se numa lógica circular onde a hipótese é assumida como verdadeira e não há o que provar.
Prova de A4:
(1)A soma de um número real com o seu oposto é igual ao elemento neutro da adição.
Atenção! O elemento oposto pode não ser necessariamente o vetor com sinal trocado. Em álgebra linear mostra-se que é possível definir conjuntos e operações de tal forma que o elemento oposto existe e não é o vetor multiplicado por -1.
Demonstração extra: mostre que, para cada vetor, existe apenas um elemento oposto correspondente.
(2)Suponha que existam dois vetores, $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{b}$, tais que ambos sejam opostos ao vetor $\overrightarrow{v}$. Com as contas mostramos que ambos os vetores são iguais, o que prova que, para cada vetor, há apenas um oposto. Caso isto não fosse verdade, a lei de cancelamento não seria válida.
Prova de A3:
(3)Somar um número real com zero é o mesmo que não somar nada. Em outras palavras, zero é o elemento tal que, somado, resulta no próprio vetor. Atenção! A4 precisa ser demonstrada antes de A3, pois primeiro mostra-se que existe um elemento neutro na adição para depois mostrar que um vetor mais o seu oposto é igual ao elemento neutro.
Atenção 2! Usualmente o elemento neutro é o zero, mas em álgebra linear são vistos espaços vetoriais com definições de operações onde o elemento neutro existe e não é o zero.
Demonstração extra: mostre que o elemento neutro da adição é único.
(4)Suponha que existam dois vetores, $\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{b}$, tais que eles tenham a mesma propriedade de não interferir na soma de um vetor. Com as contas, mostramos que ambos os vetores são iguais, o que prova que o elemento neutro da adição é único. Caso isto não fosse verdade, a lei de cancelamento não seria válida.
Prova de A1:
(5)A soma de números reais é comutativa. Geometricamente, pela regra do paralelogramo para somar vetores, o vetor soma é a diagonal e tanto pode-se obtê-lo percorrendo-se as laterais do paralelogramo por um lado como pelo outro. Em outras palavras, a ordem dos vetores não importa para a soma.
Prova de A2:
(6)A propriedade associativa nos desobriga o uso de parêntesis para indicar qual soma é feita primeiro, tanto faz a ordem.
Prova de M4:
(7)Multiplicar por um é o mesmo que não multiplicar. Em outras palavras, o elemento um é tal que, multiplicado por ele, resulta o próprio vetor.
Prova de M3:
(8)É o mesmo procedimento de por em evidência o fator comum na multiplicação de números reais.
Prova de M2:
(9)É a mesma distributiva dos números reais. Geometricamente, esticar ou encolher o vetor resultante por um fator x é o mesmo que esticar ou encolher as componentes do vetor resultante por esse mesmo x. A visualização em duas dimensões mostra que esta propriedade cai na semelhança de triângulos.
Prova de M1:
(10)A propriedade multiplicativa por número real também é associativa.