2.3.3 Exemplos resolvidos
  • Considere uma base ortonormal $\{\overrightarrow{e}_x,\overrightarrow{e}_y,\overrightarrow{e}_z\}$. Calcule a projeção ortogonal de $\overrightarrow{v} = (3,-6,0)$ sobre $\overrightarrow{u} = (2,-2,1)$.

$\overrightarrow{w} = \frac{\overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||} \implies \overrightarrow{w} = (-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3})$

$proj_{\overrightarrow{w}}\overrightarrow{v} = (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{w} \implies proj_{\overrightarrow{w}}\overrightarrow{v} = 6(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}) = (4,-4,2)$

Alternativamente,

$proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}||^2} \overrightarrow{u} \implies \frac{18}{9}(2,-2,1) = (4,-4,2)$

  • Considerando os mesmos vetores do exemplo anterior, faça a decomposição de $\overrightarrow{v}$ como soma dos vetores $\overrightarrow{p}$ e $\overrightarrow{q}$, sendo $\overrightarrow{p}$ paralelo e $\overrightarrow{q}$ ortogonal a $\overrightarrow{u}$.

A questão pede $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q}$. Como já temos $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{p}$ (temos que $proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v} || \overrightarrow{u}$), basta fazer:

$(3,-6,0) - (4,-4,2) = \overrightarrow{q} \iff \overrightarrow{q} = (-1,-2,-2)$

  • Em relação a uma base ortonormal, sabe-se que $\overrightarrow{AB} = (2,\sqrt{3},1)$ e $\overrightarrow{AC} = (-1,\sqrt{3},1)$. Calcule o comprimento da altura relativa ao vértice A e a área do triângulo ABC.

A base, o lado oposto ao vértice A, do triângulo é $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ (tanto faz a ordem): $(3,0,0)$

Vetor da base normalizado $\overrightarrow{CB} = (1,0,0)$

Projeção de $\overrightarrow{AB}$ sobre $\overrightarrow{CB}$: $2(1,0,0) = (2,0,0)$

Vetor que representa a altura do triângulo relativa ao vértice A: $(2,0,0) - (2,\sqrt{3},1) = (0,-\sqrt{3},-1)$

Altura pedida: $||(0,-\sqrt{3},-1)|| = 2$

Área pedida: $\frac{2 \cdot 3}{2} = 3$

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