3.03.1 Exemplos resolvidos

Algumas perguntas naturais após estudar os subespaços vetoriais: dado um subespaço vetorial, como saber quem gera aquele subespaço? Dados dois conjuntos geradores, eles geram um mesmo subespaço?

Os exemplos a seguir lidam com essas e outras questões.

Alguns exercícios dão um conjunto pertencente ao um espaço e definem um subespaço. Nesses casos o conjunto gerador contem vetores que geram o subespaço definido, não o espaço do próprio conjunto, a menos que o espaço e o subespaço sejam iguais.

Encontre um conjunto gerador para $\mathbb{R}^2$.

Um vetor de $\mathbb{R}^2$ pode ser escrito como combinação linear de dois vetores $\overrightarrow{e}_x$ e $\overrightarrow{e}_y$, portanto

(1)
\begin{align} (a, b) = & a \overrightarrow{e}_x + b \overrightarrow{e}_y \\ = & a(1,0) + b(0,1) \\ = & (a,0) + (0,b) \\ = & (a,b) \end{align}

Então:
$\text{S} = [\overrightarrow{e}_x, \overrightarrow{e}_y]$ é um conjunto gerador de $\mathbb{R}^2$

Caso os vetores não tenham ficado claros: são dois vetores LI e o modo mais fácil de pensar em dois vetores LI que sejam geradores do $\mathbb{R}^2$ é pensar em decompor um vetor qualquer em suas componentes, os vetores geradores daquele espaço. Um vetor gerador fundamental terá uma coordenada unitária e as restantes nulas, já que ele não é combinação linear de nenhum outro.

Mudando um pouco o conjunto. $\mathbb{V} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x = y\}$

(2)
\begin{align} (x,y) = & (x,x) \\ = & x(1,1) \\ \overrightarrow{v} = & (1,1) \end{align}

Então:
$\text{S} = [\overrightarrow{v}]$ é um conjunto gerador de $\mathbb{V}$. Geometricamente o subespaço gerado é uma reta que passa pela origem.

Caso o vetor não tenha ficado claro: $x = y$ é o mesmo que $x - y = 0$. Por sua vez isso é o mesmo que dizer que ambas as coordenadas do vetor são iguais, então qualquer número não nulo serve, não apenas o um.

Estendendo o exercício para $\mathbb{R}^3$. $\mathbb{V} = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x + y + z = 0 \}$

Como o conjunto é um subespaço vetorial, temos que $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \iff x + y + z = 0$. Então $x = - y - z$. Logo, $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ equivale a

(3)
\begin{align} (x,y,z) = & (y - z, y, z) \\ = & y(1,1,0) + z(-1,0,1) \\ \end{align}

Assim: $\text{S} = [(0,1,0), \; (-1,0,1)]$ é um conjunto gerador de $\mathbb{V}$. Geometricamente o subespaço gerado é um plano que passa pela origem.

Caso os vetores não tenham ficado claros: todo vetor que pertença ao subespaço obedece à regra dada, a soma de suas coordenadas é nula. Podemos então dizer que a coordenada $x$ é igual a $- y - z$ (poderíamos isolar $y$ ou $z$, tanto faz). Temos então que o subespaço é gerado por uma combinação linear de $y$ e de $z$, pois isolamos o $x$. Daí o vetor em $y$ tem a sua primeira coordenada com um $y$, a segunda tem um $y$ e a terceira não tem $y$. Por sua vez, o vetor em $z$ tem a sua primeira coordenada com um $-z$, a segunda não tem $z$ e a terceira tem um $z$. Um pequeno cuidado devido à notação $x,y,z$: os dois vetores tem, respectivamente, coeficientes $y$ e $z$ que multiplicam as coordenadas de cada um. Mas veja, pelas coordenadas, que não são os vetores fundamentais $\overrightarrow{e}_y$ e $\overrightarrow{e}_z$ (que determinam, respectivamente, os eixos y e z), que teriam, respectivamente, apenas $y$ e $z$ como unitárias e as restantes nulas.

Agora o mesmo exercício em $\mathbb{R}^4$. $\mathbb{V} = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \; | \; x - y = z + t = 0 \}$

$x - y = z + t = 0$ é o mesmo que $x = y$ e $z = -t$, então

(4)
\begin{align} (x,y,z,t) = & (x,x,z,-z) \\ = & x(1,1,0,0) + z(0,0,1,-1) \end{align}

Assim: $\text{S} = [(1,1,0,0), \; (0,0,1,-1)]$ é um conjunto gerador de $\mathbb{V}$. Geometricamente é um plano no espaço tetradimensional.

Note que em todos os casos, a resposta dos exercícios não é única. Dependendo de qual variável foi escolhida primeiro, o conjunto gerador muda, embora diferentes conjuntos geradores tenham subespaços sobrepostos, equivalentes entre si.

Encontre um conjunto gerador para $\text{S} = \{\mathbb{P}_2(\mathbb{R}) \; | \; p(1) = 0\}$

Um polinômio de grau 2 é da forma $p(x) = ax^2 + bx + c$, com $a,b,c \in \mathbb{R}$. Então

(5)
\begin{align} p(1) = & a1^2 + b1 + c & \iff \\ 0 = & a + b + c & \iff \\ c = & -a - b & \iff \\ \\ p(x) = & ax^2 + bx + (-a - b) & \iff\\ = & ax^2 - a + bx - b & \iff \\ = & a(x^2 - 1) + b(x - 1) \end{align}

Portanto: $\text{S} = [x^2 - 1, \; x - 1]$ geram o subespaço dado. Observe que os dois polinômios achados tem a forma de um polinômio de grau menor ou igual a 2 e eles obedecem à regra $p(1) = 0$.

Mostrar que os polinômios $1 - t, \; (1 - t)^2, \; (1 - t)^3$ e $1$ geram $\mathbb{P}_3(\mathbb{R})$.

Para mostrar que os quatro elementos dados geram o espaço em questão é preciso mostrar que um elemento do espaço, um polinômio de grau 3, é combinação linear dos polinômios dados.

Um polinômio de grau 3 é da forma $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, com $a,b,c,d \in \mathbb{R}$. Então

(6)
\begin{align} p(t) = & a(1 - t)^3 + b(1 - t)^2 + c(1 - t) + 1d \\ = & (-at^3 + 3at^2 - 3at + a) + (-bt^2 + bt + b) + (-ct + c) + 1d \\ = & (-a)t^3 + (3a - b)t^2 + (-3a - b)t + (a + b + c + d) \\ \end{align}

Então $\text{S} = [1, \; 1 - t, \; (1 - t)^2, \; (1 - t)^3]$ gera $\mathbb{P}_3(\mathbb{R})$. Os vetores dados pertencem ao subespaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3, então qualquer combinação linear entre eles tambem pertencerá ao subespaço.

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