3.05 Base

Informalmente, uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes. São vetores fundamentais que são a base para formar todos os elementos de um espaço. Podemos escrever um vetor de um espaço como uma combinação linear dos vetores que formam a base. A definição de uma base em geometria analítica e em álgebra linear é a mesma, mas em geometria analítica omitem-se os termos "espaço vetorial" e "finitamente gerado". A diferença é que em geometria analítica as visualizações em três dimensões estão sempre limitadas às bases de até três vetores e os vetores são sempre visualizados como segmentos orientados. Já em álgebra linear os espaços vetoriais podem ser de matrizes, polinômios ou funções, aí uma base pode ter n vetores e perde-se a visualização geométrica.

Base: Seja $\mathbb{V}$ um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de $\mathbb{V}$ é um subconjunto finito $\text{B} \subset \mathbb{V}$ para o qual as seguintes condições se verificam:

  • $[\text{B}] = \mathbb{V}$ (lê-se: o subconjunto B gera o espaço vetorial V.)
  • $\text{B}$ é LI

Exemplos de bases canônicas (as bases mais naturais de um espaço):

$\overrightarrow{e}_x = (1,0,0)$
$\overrightarrow{e}_y = (0,1,0)$
$\overrightarrow{e}_z = (0,0,1)$

$\text{E} = \{\overrightarrow{e}_x, \overrightarrow{e}_y, \overrightarrow{e}_z\}$ é uma base do $\mathbb{R}^3$. Perceba que um vetor qualquer do $\mathbb{R}^3$ é $\overrightarrow{v} = a\overrightarrow{e}_x + b\overrightarrow{e}_y + c\overrightarrow{e}_z$. Os escalares a, b e c são chamados de coordenadas (ou componentes) do vetor na base $\text{E}$. Em geometria analítica essa definição já é apresentada junto da definição de base. Mas em álgebra linear, como as visualizações geométricas em n dimensões não são mais possíveis, formaliza-se uma definição algébrica mais acurada dos conceitos de dimensão e base primeiro.

(1)
\begin{align} \left\{ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \right\} \end{align}

É a base canônica do espaços das matrizes $\mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R})$. Assim como no caso dos vetores, qualquer matriz 2 x 2 pode ser escrita como combinação linear de múltiplos das matrizes da base.

É bastante fácil generalizar as bases das matrizes e dos vetores para n dimensões.

Os n + 1 polinômios $1, \; t, \; \dots, \; t^n$ formam uma base de $\mathbb{P}_n(\mathbb{R})$ pois

  • Dado $f \in \mathbb{P}_n(\mathbb{R})$, existem (e são únicos) $a_0, \; a_1, \; \dots, a_n \in \mathbb{R}$ de modo que
(2)
\begin{align} f(t) = a_0 + a_1t + \dots + a_nt^n, \; \forall t \in \mathbb{R}, \end{align}

o que é uma consequência da própria definição de polinômio.

  • Se $a_0 + a_1t + \dots + a_nt^n = 0, \; \forall t \in \mathbb{R},$ então $a_0 = \dots = a_n = 0,$ devido ao princípio do polinômio identicamente nulo. Isso é o mesmo que dizer que os termos da base são LI.

Por definição, a base que gera o menor subespaço, o que tem apenas o vetor nulo, denotado por $\{o\}$, é o conjunto vazio $\{\emptyset\}$.

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