4.5 Posição relativa de retas

• Estude a posição relativa das retas s e r:
• $r: X = (1,-1,1) + \lambda(-2,1,-1)$ e $s: \begin{cases} & & y & + & z & = & 3 \\ x & + & y & - & z & = & 6 \end{cases}$

Resolvendo o sistema de s a solução é a equação de uma reta:

(1)

\begin{equation} (3 + 2z, 3 - z, z) = (3, 3, 0) + z(2, -1, 1) \end{equation}

Os vetores diretores $(2,-1,1)$ e $(-2,1,-1)$ são LD, portanto, são retas paralelas. Como o ponto origem das reta r não pertence a reta s, as retas são distintas.

• $r: \begin{cases} x & - & y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & - & z & = & 0 \end{cases}$ e $s: \begin{cases} 2x & - & 3y & + & z & = & 5 \\ x & + & y & - & 2z & = & 0 \end{cases}$

Resolvendo r e fazendo a variável livre se chamar $t_1$:

(2)

\begin{equation} (1 + t_1, -1, t_1) = (1, -1, 0) + t_1(1, 0, 1) \end{equation}

Escrevendo r na forma paramétrica:

(3)

\begin{cases} x & = & 1 & + & t_1 \\ y & = & -1 \\ z & = & & & t_1 \end{cases}

Resolvendo s e fazendo a variável livre se chamar $t_2$:

(4)

\begin{align} \left(t_2 + 1, t_2 - 1, t_2\right) = \left(1, -1, 0\right) + t_2\left(1, 1, 1\right) \end{align}

Escrevendo s na forma paramétrica:

(5)

\begin{cases} x & = & 1 & + & t_2 \\ y & = & t_2 & - & 1 \\ z & = &&& t_2 \end{cases}

Os vetores diretores de r e s são claramente LI, portanto, as retas não são paralelas. Se existe uma intersecção, ela é uma igualdade entre as coordenadas x, y e z das retas:

(6)

\begin{cases} 1 & + & t_1 & = & 1 & + & t_2 \\ -1 & & & = & t_2 & + & 1 \\ t_1 & & & = & t_2 \end{cases}

Encontrando os valores de $t_1$ e $t_2$ encontramos o ponto de intersecção. No caso, o ponto origem de cada reta é coincidentemente o ponto de intersecção.

• $r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{2}$ e $s: X = (0,0,0) + \lambda(1,2,0)$

Passando r para a forma vetorial:

(7)

\begin{align} r: X = (-3,0,-1) + \mu(2,3,2) \end{align}

Os vetores diretores de r e s são claramente LI, então as retas não são paralelas. Para verificar se existe a intersecção um modo é fazer como no exemplo anterior, igualar as coordenadas x, y e z. Outro modo é verificando a dependência linear entre os vetores diretores e o vetor que liga os pontos origem de cada reta.

(8)

\begin{align} \left| \begin{matrix} -3 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} \right| = 11 \end{align}

Como os vetores são LI as retas não tem ponto intersecção e são reversas.

• $r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{4} = z$ e $s: \begin{cases} 2x & - & y & + & 7 & = & 0 \\ x & + & y & - & 6z & = & -2 \end{cases}$

Escrevendo r na forma vetorial:

(9)

\begin{align} r: X = (-3, 1, 0) + \lambda(2,4,1) \end{align}

Resolvendo s e chamando a variável livre de $\mu$:

(10)

\begin{align} (2\mu - 3, 4\mu + 1, \mu) = (-3, 1, 0) + \mu(2,4,1) \end{align}

Como os vetores diretores e os pontos origem são iguais, as retas são coincidentes

• Sejam $r: X = (1,0,2) + \lambda(2,1,3)$ e $s: X = (0,1,-1) + \lambda(1,m,2m)$. Estude, segundo os valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas.

Estudando o paralelismo:

$(1,0,2) - (0,1,-1) = (1,-1,3)$. Como o vetor que une os pontos origem das duas retas não é paralelo ao vetor diretor de r as retas não podem ser coincidentes qualquer que seja o valor de m.

Para que as retas sejam paralelas é preciso que os vetores diretores sejam LD, mas igualando os vetores diretores $(2,1,3) = (1,m,2m)$ é imediato verificar que não existe valor de m para o qual os vetores sejam paralelos. Portanto só restam as retas serem reversas ou concorrentes.

Como as retas não podem ser paralelas, é suficiente que os vetores diretores e o vetor que une os pontos origem de cada reta sejam LD para haver intersecção:

(11)

\begin{align} \left|\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & m & 2m \end{matrix}\right| = 0 \end{align}

Calculando o determinante, $m = \frac{2}{3}$. Isso significa que para $m = \frac{2}{3}$ as retas são concorrentes e para $m \ne \frac{2}{3}$ as retas são reversas.

Escrevendo as retas na forma paramétrica (usando parâmetros diferentes para cada reta para não confundir):

(12)

\begin{align} r: \begin{cases} x & = & 1 & + & 2 \lambda \\ y & = & & & \lambda \\ z & = & 2 & + & 3 \lambda \end{cases} \; \; \; \; \; s: \begin{cases} x & = & & + & \mu \\ y & = & 1 & + & \frac{2}{3} \mu \\ z & = & -1 & + & \frac{4}{3} \mu \end{cases} \end{align}

Igualando as coordenadas x, y e z para encontrar o ponto de intersecção: $\lambda = -5$ e $\mu = -9$. Basta aplicar -5 na reta r ou -9 na reta s para encontrar a intersecção em $P = (-9,-5,-13)$.

Os vetores diretores da reta e o vetor $\overrightarrow{XP} = (-9 -x, -5 - y, -13 - z)$ são LD, portanto:

(13)

\begin{align} \left|\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ -9 - x & -5 - y & -13 - z \end{matrix}\right| = 0 \end{align}

Calculando o determinante resulta na equação geral do plano determinado pelas retas: $\frac{1}{3}(2x - y - z) = 0$ (A equação não é única, dependendo do ponto P escolhido encontra-se um múltiplo da equação)

• Dê condições sobre m e n para que as retas s e r determinem um plano:
• $r: \begin{cases} x & - & y & = & 1 \\ nx & - & y & - & 2z & + & m & + & 1 & = & 0\end{cases} \; \; \; \; \; s: \begin{cases} x & - & nz & + & m & + & n & = & 0 \\ x & + & y & - & 2nz & + & 11 & = & 0 \end{cases}$

Escrevendo a equação vetorial de r (y = t, m e n são variáveis livres):

(14)

\begin{align} \left(1 + t,t,\frac{m + 1 - t + n(1 + t)}{2}\right) = \left(1,0,\frac{m + 1 + n}{2}\right) + t\left(1,1,\frac{n - 1}{2}\right) \end{align}

Escrevendo a equação vetorial de s (z = v, m e n são variáveis livres):

(15)

\begin{equation} (-m + nv - n, nv + n - 11, v) = (-m - n, n - 11, 0) + v(n, n, 1) \end{equation}

Se n = -1 ou n = 2 os vetores diretores são LD, portanto, as retas são paralelas e não podem determinar um plano. Se n ≠ -1 e n ≠ 2 as retas podem ser reversas ou concorrentes, depende de m.

• A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas, respectivamente, em r: $X = (-6,0,3) + \lambda(3,2,0)$ e $s: X = (0,0,3) + \lambda(3,-2,0)$. Sendo $C = (4,-1,3)$, determine A e B.

Como a mediana e a altura estão contidas em retas não coincidentes deduz-se que o triângulo não é equilátero e que os lados AB e BC não podem ser iguais. O ponto de intersecção de r e s é o ponto B. Calculando a intersecção (mudando o parâmetro de s para não confundir):

(16)

\begin{cases} -6 & + & \lambda 3 & = & 3 \mu \\ & & \lambda 2 & = & -2 \mu \end{cases}

Resolvendo o sistema temos que $\lambda = 1$ e $\mu = -1$ e $B = (-3,2,3)$

A reta que contem CA é perpendicular à altura, isso significa que os vetores diretores são ortogonais. Então:

(17)

\begin{align} (4 - x, -1 - y, 3 - z) \cdot (3,2,0) = 0 \\ 12 - 3x - 2 - 2y = 0 \\ -3x - 2y + 10 = 0 \end{align}

Existem infinitos pares (x, y) que verificam a equação, por exemplo $(3,\frac{1}{2})$. O vetor diretor da reta que contem AC é da forma $(4 - 3, -1 -\frac{1}{2}, 3 - z) = (1,-\frac{3}{2},3 - z)$. Existem infinitos vetores ortogonais ao vetor diretor de r, mas apenas para 3 - z = 0 o vetor esta no mesmo plano determinado pelas retas r e s. Portanto, um vetor diretor da reta que contem AC é $(1, -\frac{3}{2},0)$. A reta que passa por C e é perpendicular à altura é única:

(18)

\begin{align} a: X = (4,-1,3) + t\left(1,-\frac{3}{2},0\right) \end{align}

Calculando a intersecção de a com s:

(19)

\begin{cases} 4 & + & t & = & 3 \mu \\ -1 & - & \frac{3}{2}t & = & -2 \mu \end{cases}

Resolvendo o sistema temos $\mu = t = 2$ e o ponto de intersecção $M = (6,-4,3)$.

Agora encontramos o vetor $\overrightarrow{CM} = (2,-3,0)$. Como o vetor $\overrightarrow{AM}$ é equipolente com $\overrightarrow{CM}$ basta somar o ponto M ao vetor $\overrightarrow{CM}$ para encontrar $A = (8,-7,3)$.

Segundo modo de resolução: Faça o produto vetorial entre os vetores diretores de r e s, isso dará o vetor diretor de uma reta perpendicular à altura e ao plano que contem o triângulo ABC. Faça novamente o produto vetorial, agora entre o vetor diretor encontrado e o vetor diretor da reta que contem a altura, isso resultará no vetor diretor da reta que passa por C. Como as coordenadas dos pontos não dependem da orientação das retas a ordem do produto vetorial não afetará os resultados.

• Seja $r: X = (1,1,1) + \lambda (1,1,1)$ e $s: X = (1,2,0) + \lambda (2,3,m)$. Verifique se existe algum valor de m tal que as retas r e s sejam ortogonais ou perpendiculares.

Para que as retas sejam ortogonais ou perpendiculares os vetores diretores devem ser ortogonais:

(20)

\begin{align} (1,1,1) \cdot (2,3,m) & = 0 \\ m & = -5 \end{align}

Para que as retas sejam perpendiculares os vetores diretores devem ser ortogonais e deve haver intersecção:

(21)

\begin{cases} 1 & + & \lambda & = & 2 & + & \mu \\ 1 & + & \lambda & = & 2 & + & 2 \mu \\ 1 & + & \lambda & = & -5 \end{cases}

Como o sistema não tem solução não existe intersecção e as retas não podem ser perpendiculares. Para que fossem precisaríamos mudar o ponto origem de uma delas.