1.0. Módulo de um número real

Definição do módulo ou valor absoluto:

(1)

\begin{alignat} {2} |x| & = &x \text{ se } x \ge 0 \\ |x| & = &-x \text{ se } x < 0 \end{alignat}

Cuidado com o segundo caso! Ex: |-1| = -(-1) e não -1!

Propriedades do módulo:

• $\text{ } |x| \ge 0$
• $\text{ } |x| = 0 \iff x = 0$
• $\text{ } |x| = |-x|$ (propriedade reflexiva)
• $\text{ } |ab| = |a||b|$
• $\text{ } |a - b|^2 = (a - b)^2$
• $\text{ } |x| = \sqrt{x^2}$
• $\text{ } \text{Se } a > 0, |x| \le a \iff -a \le x \le a$
• $\text{ } d(A, B) = d(B, A) = |a - b| = |b - a|$
• $\text{ } d(A, B) \le d(A, C) + d(C, B)$ ou $|a + b| \le |a| + |b|$ (desigualdade triangular)
• $\text{ } d(A, B) = d(A, C) + d(C, B) \iff$ A, B e C são colineares e C está entre A e B

Prova das três primeiras propriedades:

Interpretação geométrica: não existe distância negativa e o número zero não tem sinal. Quanto a terceira, a distância entre origem e destino é a mesma independente do sentido tomado no percurso.

A primeira e a segunda são decorrências diretas da definição do módulo. Não haveria diferença conceitual em se definir o módulo com três casos, separando o caso do módulo do número zero num terceiro caso. O fato do zero estar incluso no caso "maior ou igual" é questão de preferência, incluí-lo no caso "menor ou igual" não alteraria em nada a definição.

A terceira também é consequência direta da definição. Se $x \ge 0, \; |x| = x$. Se $x < 0, \; |-x| = -(-x) = x$.

Prova da 4ª propriedade:

Inicialmente, vamos mostrar que

(2)

\begin{align} |x|^2 = |x^2| = x^2, \forall x \in \mathbb{R} \end{align}

Sendo $x^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$ temos que $|x^2| = x^2$ pela definição de valor absoluto. Resta mostrar que

(3)

\begin{equation} |x|^2 = x^2 \end{equation}

Se $x \ge 0$ (caso um), temos $|x| = x$ e, portanto, $|x|^2 = x^2;$

Se $x < 0$ (caso dois), temos $|x| = -x$ e, portanto, $|x|^2 = (-x)^2 = x^2.$

De posse desses resultados, podemos então mostrar que

(4)

\begin{align} |ab|^2 = (ab)^2 = a^2b^2 = |a|^2|b|^2 \Rightarrow |ab| = |a||b| \end{align}

Prova da 5ª propriedade:

Utilizando dos resultados da quarta propriedade:

(5)

\begin{equation} |a - b|^2 = |a - b||a -b| = |(a - b)^2| = (a - b)^2 \end{equation}

Pode parecer um erro de notação ou que o módulo e o parêntesis são intercambiáveis, mas cuidado! A propriedade se baseia no fato de que tanto o módulo quanto elevar ao quadrado são operações que não retornam valores negativos.

Prova da 9ª propriedade:

Interpretação geométrica: num espaço euclidiano, a soma das partes de um segmento dividido não pode ser maior do que o segmento inteiro. O mesmo vale no plano, o lado de um triângulo não pode ser maior do que a soma dos outros dois.

Usando do fato

(6)

\begin{align} x \le |x|, \forall x \in \mathbb{R}. \end{align}

Temos

(7)

\begin{align} |a + b|^2 = (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \le |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| = (|a| + |b|)^2. \end{align}

Ou seja,

(8)

\begin{align} |a + b|^2 \le (|a| + |b|)^2, \end{align}

donde obtemos

(9)

\begin{align} |a + b| \le |a| + |b|, \end{align}

Prova da 7ª propriedade:

Interpretação geométrica: traçada uma circunferência com origem num ponto qualquer da reta e raio a, a distância de um ponto x, da origem da circunferência até o perímetro, não pode ser maior do que o próprio raio da circunferência.

O ponto x pode ser $x \ge 0$ ou $x < 0$. Começaremos pelo primeiro caso. Suponhamos que $|x| \ge 0$ e $|x| \le a$, vem

(10)

\begin{align} - a \le 0 \le x = |x| \le a. \end{align}

Ou seja, se $|x| \le a$, então $-a < x < a$. Reciprocamente, suponha que $|x| \ge 0$ e $-a < x < a$. Daí vem que

(11)

\begin{align} |x| = x \le a. \end{align}

Se $x < 0$, então, automaticamente, $x \le a$ e $-x = |x| \le a.$

Mas $-x \le a$ é equivalente a $x \ge -a$, de modo que $-a \le x \le a$

Portanto, provamos que

(12)

\begin{align} |x| \le a \Rightarrow -a \le x \le a. \end{align}

Falta a recíproca. Também precisamos considerar os casos de x positivo e negativo. A desigualdade $-a \le x \le a$ pode ser desdobrada em duas: $x \le a$ e $x \ge -a$

Se $x \ge 0, |x| = x$ e a primeira desigualdade nos dá $x \le a$

Se $x < 0, |x| = -x$ e, da segunda desigualdade, temos $-x \le a$, que é equivalente a $x \ge -a$ e é igual a $|x| \le a$

Logo

(13)

\begin{align} -a \le x \le a \Rightarrow |x| \le a. \end{align}

Prova da 6ª propriedade:

Interpretação geométrica: a distância x é igual à medida do lado de um quadrado, onde o lado mede |x|. Veja que não existe comprimento negativo.

Observe que

(14)

\begin{align} x^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}. \end{align}

Portanto, usando o resultado $|x|^2 = x^2$ da prova da 4ª propriedade

(15)

\begin{align} \sqrt{x^2} = |x|. \end{align}

Veja que não faz sentido nenhum dos dois lados da igualdade ser negativo.

Cuidado com $\sqrt{x^2}$! $(-2)^2 = 4 \therefore \sqrt{(-2)^2} = 2$ e não $-2$! Tanto o quadrado quanto a raiz de um número real só estão definidos para valores positivos.

Prova da 8ª propriedade:

Interpretação geométrica: sejam A e B dois pontos distintos sobre a reta, a distância entre eles não depende de qual seja o ponto origem e qual o ponto destino. É imediato que se A = B, não há o que provar.

Suponhamos que $a < b$. Temos três casos possíveis

Caso 1: $0 < a < b$, isto é, ambos são positivos.

Como A esta entre O e B, $d(O, A) = a$ e $d(O, B) = b$, temos, por $d(O, B) = d(O, A) + d(A, B)$, que

(16)

\begin{equation} b = a + d(A, B). \end{equation}

Portanto,

(17)

\begin{equation} d(A, B) = b - a = |b - a|. \end{equation}

Caso 2: $a < b < 0$, isto é, ambos são negativos.

Neste caso, B esta entre A e O, $d(O, A) = -a$ e $d(O, B) = -b.$

Observação: o sinal negativo em a e b vem da própria definição do módulo quando x é negativo

Logo,

(18)

\begin{align} d(O, A) = d(A, B) + d(B, O) \iff -a = d(A, B) - b, \end{align}

ou seja,

(19)

\begin{equation} d(A, B) = a - b = |a - b|. \end{equation}

Caso 3: $a < 0 < b$, isto é, a e b estão em lados opostos em relação à origem.

Como O esta entre A e B, $d(A, B) = d(A, O) + d(O, B).$ Além disso, $d(A, O) = -a$ e $d(O, B) = b$. Logo,

(20)

\begin{equation} d(A, B) = -a + b = |b - a|. \end{equation}

Verificando assim o desejado. Para o caso $b < a$ a demonstração segue o mesmo processo, apenas mudam-se a ordem dos pontos.

Demonstração da propriedade do ponto médio de dois pontos distintos sobre a reta

Sejam A e B pontos de coordenadas a e b, e M o ponto médio do segmento $\overline{AB}$, de coordenada m. Então $m = \frac{a + b}{2}$.

De fato, suponhamos que $a < b$. Como o ponto médio M esta entre A e B, temos $a < m < b$. Logo,

(21)

\begin{align} d(M, A) = d(M, B) \iff |a - m| = |b - m| \iff m - a = b - m \iff 2m = a + b \iff m = \frac{a + b}{2}. \end{align}

Prova da 10ª propriedade

Interpretação geométrica: a última propriedade é um caso particular da desigualdade triangular. Quando a soma das partes é igual ao segmento inteiro, os pontos são colineares. Caso a soma fosse maior ou menor do que o segmento inteiro teríamos um triângulo.

As distâncias são sempre positivas, então

(22)

\begin{align} |b - a| = |c - a| + |b - c| \iff |b - a|^2 = (|c - a| + |b - c|)^2. \end{align}

Utilizando do resultado da 4ª propriedade

(23)

\begin{equation} |b - a|^2 = a^2 - 2ab + b^2 = |a|^2 - 2|a||b| +|b|^2 = (|a| - |b|)^2 \end{equation}

e

(24)

\begin{equation} (|c - a| + |b - c|)^2 = (-a + b)^2 = (|b| - |a|)^2. \end{equation}

Utilizando a 6ª e 7ª propriedades

(25)

\begin{align} (|a| - |b|)^2 = (|b| - |a|)^2 \iff \sqrt{(|a| - |b|)^2} = \sqrt{(|b| - |a|)^2} \iff |a| - |b| = |b| - |a| \end{align}